汪群超 Chun-Chao Wang

Dept. of Statistics, National Taipei University, Taiwan

template_math_ctx

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} % 定理的 package
\usepackage{enumerate} %特殊項目符號
\theoremstyle{plain} % 設定定理型態
\newtheorem{thm}{\ctxfbb 定理} % 將 Theorem 改為國字「定理」
\newcommand{\cw}{\texttt{cw}\kern-.6pt\TeX}
\title{\LaTeX 的數學符號與方程式}
\author{\ctxfk 汪群超}
\date{\small 2007.7}
\begin{document}
\maketitle
\fontsize{12}{20pt}\selectfont

本文將常見的數學符號與方程式以 {\LaTeX} 編排展示,希望降低使用 {\LaTeX} 編輯數學式的門檻,
快速得到 {\LaTeX} 為人稱頌的優美數學式。不但為初學者提供編輯的概念與方法,也作為未來的文件編輯的參照樣本。
本文內容參考 \cw{}手冊、學生的作品、及作者平日編輯講義時所發現具代表性的數學方程式。
在閱讀本文之前,建議先將 \cw{} 手冊第 9 章「數學式子」看過一遍,擷取當中對於表達數學式子的觀念,
再以本文及所附的 ctx 原始檔作為練習的參考。\\
\section{數式環境}
數學式可能以兩種型式出現,一是隨文數式(in-text formula),是夾在文章中的數學式;
譬如,當 $\alpha=2$ 時, $\alpha^3=8$ 。另一種是數學式自成一行或一個段落,我們稱之為展示數式(display formula),
譬如
$$\int^1_0 f(x)dx$$
輸入數學式時,有兩個地方需要特別注意:
\begin{itemize}
\item 隨文數式前後請留一空格,才不會顯得擁擠。
\item 展示數式上下不須多留一空行, \LaTeX\ 會自行調整間距。
\end{itemize}\bigskip
\section{符號}
數字與普通運算符號可直接由鍵盤上鍵入。下列符號可以直接由鍵盤鍵入:

\begin{center}
+ \;-\; =\; $<$\; $>$ \;/ \;:\; !\; | \;[\; ] \;(\; )\\
\end{center}
要注意的是, 左右大括號$\{$ $\}$ 在 \LaTeX\ 中有特殊用途。欲排版左大括號, 指令為 $\backslash$$\{$ ,
右大括號之指令為 $\backslash$$\}$ 。排版展示數式有以下四種方法可以達到目的:
\begin{center}
$\backslash$begin$\{$equation$\}$ … $\backslash$end$\{$equation$\}$\\
$\backslash$begin$\{$displaymath$\}$ … $\backslash$end$\{$displaymath$\}$\\
$\backslash$[ … $\backslash$]\\
\$\$ … \$\$
\end{center}
除第一種方式外,其餘將不對數學式子進行編號。數式內若要排版文字時,必須置於
$\backslash$mbox 指令內,否則將被視為數學符號,譬如,

$$f(x)=x^2-3x+1 \mbox{, where} -2 \leq x \leq 2$$

\section{常見的數學式}
本節列舉一些常見的數學式作為練習與未來使用的參考,每個函數都有其特別之處,請仔細觀察研究。
讀者可以依此為基礎,在往後的寫作過程中,逐漸累積更多有特殊型態的或符號的數學式,
只要這裡出現過的,參照原使檔一定寫得出來。

\subsection{函數}
Binomial: $f(x)={n\choose x}p^x(1-p)^{1-x}, \;\; x=0,1,2,\cdots,n$ \\\\
Poisson: $f(x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}, \;\; x=0,1,2,\cdots$ \\\\
Gamma: $f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}, \;\; x\geq 0$ \\\\
Normal: $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \;\; -\infty < x < \infty $\\
積分式與方程式編號:
\begin{equation}\label{gamma}%……………..label後的名稱自訂,代表該方程式
\int^\infty_0 x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^{\alpha}}
\end{equation}
方程式 (\ref{gamma})是廣義 $\Gamma$ 積分。\footnote{這裡利用方程式標籤(label)來引用方程式,編號將自動更新。}\\
開根號:
$$f(x)=\sqrt[3]{\frac {\displaystyle 4-x^{3}}{\displaystyle 1+x^{2}}}$$
微分與極限(注意大刮號的使用):
$$f'(x)=\frac{df(x)}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$$
上下限的使用:
$$\int_a^b f(x) dx \approx \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\triangle x_k$$
最佳化問題:
$$\max_{\mathbf{u},\mathbf{u}^T\mathbf{u}=1} \mathbf{u}^T\Sigma_X\mathbf{u}$$
幾個符號:
$$\mathbf{e}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_q=(I-P)\mathbf{x} \in V^{\perp}, \mbox{where}\; V\oplus V^{\perp}=R^p $$
\subsection{矩陣與行列式}
矩陣或有規則排列的數學式或組合很常見,以下列舉幾種模式,請特別注意其使用的標籤及一些需要注意的小地方。譬如,
\begin{enumerate}[a)]
\item 矩陣的左右括號需各別加上。
\item 橫行各項之間是以 $\&$ 區隔。
\item 除最後一行外,每行之末則加上換行指令$\backslash$$\backslash$。
\item 使用array指令時,須加上選項以控制每一直欄內各數字或符號要居中排列、靠左或靠右。
\end{enumerate}
範例與注意事項:
\begin{enumerate}
\item 左右方框刮號的使用及各直欄的對齊方式:
$$ A = \left[
\begin{array}{clr}
a+b & mnop & xy \\
a+b & pn & yz \\
b+c & mp & xyz
\end{array} \right] $$

\item 左右圓框刮號的使用及各式點狀:
$$ A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right) $$

\item 排列整齊的符號:
$$ \begin{array}{clr}\\
a+b+c & m+n & xy \\
a+b & p+n & yz \\
b+c & m-n & xz
\end{array} $$

\item 等號對齊的函數組合(不編號)
\begin{eqnarray*}
b_1 &=& d_1+c_1 \\
a_2 &=& c_2+e_2
\end{eqnarray*}

\item 等號對齊的函數組合(編號在最後一行)
\begin{eqnarray}
\nonumber b_1 &=& d_1+c_1 \\
a_2 &=& c_2+e_2
\end{eqnarray}

\item 使用巨集 amsmath 的指令 align(控制編號在第一行)
\begin{align}
b_1 &= d_1+c_1\\
a_2 &= c_2+e_2 \notag
\end{align}

\item 兩組數學式分別對齊
\begin{align}
\alpha_1 &= \beta_1+\gamma_1+\delta_1, &a_1 &= b_1+c_1\\
\alpha_2 &= \beta_2+\gamma_2+\delta_2, &a_2 &= b_2+c_2
\end{align}

\item 編號在中間(split指令環境)
\begin{equation}
\begin{split}
\alpha_1 &= \beta_1+\gamma_1\\
\alpha_2 &= \beta_2+\gamma_2
\end{split}
\end{equation}
\item 只是居中對齊的數學式組(gather指令環境)
\begin{gather}
\alpha_1 + \beta_1\notag\\
\alpha_2 + \beta_2 + \gamma_2\notag
\end{gather}

\item 長數學式的表達(注意第二行加號的位置)
\begin{align}
y &= x_1 + x_2 + x_3 \notag\\
&\quad + x_4 + x_5
\end{align}
\end{enumerate}
\subsection{其他}

$$X_{n} \stackrel{d}{\longrightarrow} X$$\\
$$\overbrace{X_{1} + \ldots + \underbrace{X_{15} + \ldots + X_{30}}}$$\\
\begin{equation*}
G = \left\{\begin{array}{l}
CLASS\#1 \;\;\mbox{if} \;\; \hat{\beta}^T\bf{x} \leq 0 \\
CLASS\#2 \;\;\mbox{if} \;\; \hat{\beta}^T\bf{x} > 0
\end{array}\right.
\end{equation*}\\

以equation或align排版時,數學式會自動編上號碼。文稿其他地方若要引述某數學式,
可先以$\backslash$label指令加上標籤,再使用$\backslash$ref指令引述。
如此一來若排版文稿須反覆修改,使用$\backslash$label 與$\backslash$ref 指令可以「自動對焦」不會出錯。
\begin{thm}
%Theorem:\\
A symmetric matrix $\Sigma_X$ can be diagonalized by an orthogonal matrix containing normalized eigenvectors of $\Sigma_X$ ,
and the resulting diagonal matrix contains eigenvalues of $\Sigma_X$。
\end{thm}

\end{document}

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